Free monad
TIL
720
White

kiennt viết ngày 16/09/2016

Free monad là gì?

Với h là một Functor, chúng ta có thể tạo ra một monad từ h bằng cách định nghĩa như sau


data Free h a = Pure a  | Free (h (Free h a))

instance Functor h => Functor Free h where 
    fmap f (Pure a) = Pure (f a)                               (1)
    fmap f (Free ha) = Free (fmap (fmap f) ha)                 (2)

instance Functor h => Monad Free h where
    return = Pure                                              (3)
    Pure a >>= f = f a                                         (4)
    Free ha >>= f = Free (fmap (>>= f) ha)                     (5)

Chứng minh Free f là Functor

Trước hết chúng ta sẽ chưng minh cách định nghĩa hàm fmap là thoả mãn các rule của Fuctor
(rule của Fuctor có thể xem ở bài viết trước)

Trong vế phải của (2), hàm fmap chính là hàm fmap của functor f. Hàm fmap tuân thủ theo
luật của functor f, nên có các tính chất sau:

      fmap id (h a) = h a                                      (6)
      fmap (f . g) (h a) = fmap f . (fmap g) (h a)             (7)     

fmap id = id

fmap id (Pure a) 
  = Pure (id a)   -- theo (1)
  = Pure a        -- theo định nghĩa hàm id

fmap id (Free ha) 
  = Free (fmap (fmap id) ha)  -- theo (2)
  = Free (fmap id ha)         -- theo (6)
 = Free fa                    -- theo (6)

fmap (f . g) = (fmap f) . (fmap g)

fmap f (fmap g) (Pure a) 
  = fmap f Pure (g a)                -- theo (1)
  = Pure(f (g a))                    -- theo (1)
  = Pure((f . g) a)                  -- theo dinh nghia ham (.)
  = fmap (f . g) (Pure a)            -- theo (1)


fmap f (fmap g) (Free ha)
  = fmap f Free(fmap (fmap g) ha)                -- theo (2)
  = Free(fmap (fmap f) (fmap (fmap g) ha))       -- theo (2)
  = Free(fmap ((fmap f) . (fmap g)) ha)          -- theo (7)
  = Free(fmap (fmap (f . g)) ha)                 -- theo (7)
  = fmap (f . g) (Free ha)

Chứng minh Free f là Monad

return a >>= k = k a

return a >>= k 
  = Pure a >>= k                    - theo (3)
  = k a                             - theo (4)

m >>= return = m

Pure a >>= return 
  = return a                       - theo (4)
  = Pure a                         - theo (3)

Free ha >>= return
  = Free (fmap (>>= return) ha)    - theo (5)
  = Free ha                        - why???? what is (>>= k) means?

(m >>= k) >>= h = m >>= (\x -> k x >>= h)

(Pure a >>= k) >>= h
  = (k a) >>= h                   - theo (4)
  = Pure a >>= (\x -> k x >>= h)  - theo (4)

(Free ha >>= k) >>= h
  = Free (fmap (>>= k) ha) >>= h            - theo (5)
  = Free (fmap (>>= h) fmap (>>= k) ha)     - theo (5)
  = Free (fmap ((>>= h) . (>>= k)) ha)      - theo rule cua fmap
  = Free (fmap (>>= (\x -> k x >>= h)) ha)
  = Free ha >>= (\x -> k x >>= h)           - theo (5)

kiennt 16-09-2016

Bình luận


White
{{ comment.user.name }}
Bỏ hay Hay
{{comment.like_count}}
Male avatar
{{ comment_error }}
Hủy
   

Hiển thị thử

Chỉnh sửa

White

kiennt

30 bài viết.
308 người follow
Kipalog
{{userFollowed ? 'Following' : 'Follow'}}
Cùng một tác giả
White
97 18
Mọi chuyện bắt đầu từ nắm 2013 trong quá trình xây dựng chức năng login với Facebook, tôi đã tìm ra một cách để tấn công vào các hệ thống login với...
kiennt viết hơn 3 năm trước
97 18
White
68 5
Trong tuần vừa rồi, mình có đọc chương 7 cuốn sách (Link). Bài viết này nhằm mục đích giúp mình tổng hợp lại những kiến thức đã học được về chương ...
kiennt viết hơn 1 năm trước
68 5
White
30 5
1. Đặt vấn đề Một trong các vấn đề của một hệ thống backend là bài toán điều phối request tới các nguồn dữ liệu. Xét bài toán với một hệ thống bl...
kiennt viết gần 3 năm trước
30 5
Bài viết liên quan
White
0 4
fCC: Technical Documentation Page note So I have finished the HTML part of this exercise and I want to come here to lament about the lengthy HTML ...
HungHayHo viết 1 năm trước
0 4
White
2 0
I used Spring boot, Hibernate few times back then at University, I'v started using it again recently. In this (Link), I want to check how Spring J...
Rey viết 7 tháng trước
2 0
White
22 1
Toán tử XOR có tính chất: + A XOR A = 0 + 0 XOR A = A Với tính chất này, có thể cài đặt bài toán sau với độ phức tạp O(N) về runtime, và với O(1)...
kiennt viết gần 3 năm trước
22 1
{{like_count}}

kipalog

{{ comment_count }}

bình luận

{{liked ? "Đã kipalog" : "Kipalog"}}


White
{{userFollowed ? 'Following' : 'Follow'}}
30 bài viết.
308 người follow

 Đầu mục bài viết

Vẫn còn nữa! x

Kipalog vẫn còn rất nhiều bài viết hay và chủ đề thú vị chờ bạn khám phá!