Bị đánh lừa bởi chính hiểu biết của bản thân
math
11
White

An Việt Trung viết ngày 02/01/2019

Một bài viết thuần toán học, ngẫu hứng viết nhân dịp năm mới

Hôm nay ở trên lớp, mình được giao cho một bài toán (toán cấp 3) như sau:

Cho hàm số $y=f(x)$ có đồ thị như hình vẽ:
Đồ thị ban đầu
Cho $m$ là số thực bất kì, hỏi hàm số $y=f(|x|+m)$ cắt trục hoành tại nhiều nhất bao nhiêu điểm?

Đây là một bài toán cấp 3 ở mức độ khá, chưa phải là khó, nhưng đến cả 2 người thầy dạy toán và gần như cả lớp mình đều giải sai mặc dù lời giải họ đưa ra nghe rất hợp lí.

Nếu bạn là người yêu toán, hãy thử giải bài toán trên trước khi đọc tiếp.
Trước khi giải bài toán trên, mình sẽ tóm tắt lại một số kiến thức toán học lớp 10 để giải bài toán này.

Kiến thức cơ bản: Phép biến đổi đồ thị hàm số

Ví dụ: cho $y = f(x) = x^2-2x+2$
Đây là hàm mà không vẽ chắc ai cũng biết nó hình dạng như thế nào. Nhưng thôi là người viết bài có tâm mình vẫn sẽ vẽ ra để đỡ phải tưởng tượng.
Đồ thị y=f(x)
Bây giờ, hãy vẽ đồ thị hàm số $y=f(x)+2$.
Quá đơn giản luôn, chỉ cần tịnh tiến đồ thị ban đầu lên 2 đơn vị
Đồ thị y=f(x)+2
Thế còn đồ thị $y=f(x-2)$ thì sao.
Hơi khó một chút nhưng chứng minh chút là biết nó tịnh tiến đồ thị sang phải 2 đơn vị
Đồ thị y=f(x-2)
Khó hơn. Hãy vẽ đồ thị $y=f(|x|)$.
Phân tích một chút, ta thấy nếu $x$ là số dương thì đồ thị mới này sẽ y hệt đồ thị ban đầu. Với $x$ là số âm, ta sẽ lấy điểm đối xứng với nó qua trục tung. Túm lại, muốn vẽ đồ thị này, ta chỉ cần giữ nguyên nửa bên phải đồ thị ban đầu sau đó vẽ đối xứng qua trục tung
Đồ thị y=f(|x|)

Tóm tắt lại các kiến thức trên:
Cho đồ thị hàm số $y=f(x)$. Ta có:

  • $y=f(x)+m$: Đồ thị dịch lên trên $m$ đơn vị (đi xuống nếu $m$ âm)
  • $y=f(x-m)$: Đồ thị dịch sang phải $m$ đơn vị (sang trái nếu $m$ âm)
  • $y=f(|x|)$: Đồ thị giữ nguyên nửa bên phải trục tung, sau đó lấy đối xứng sang bên trái trục tung

Giải quyết bài toán bằng kiến thức trên

Trước tiên ta có đồ thị hàm $y=f(x)$ như sau:
Đồ thị ban đầu
Bây giờ ta sẽ vẽ thử trước đồ thị hàm số $y=f(|x|)$. Quá dễ, lấy đối xứng là xong:
Đồ thị f(|x|)

Đề bài hỏi ta là đồ thị cắt trục hoành tại nhiều nhất bao nhiêu điểm. Dễ dàng nhìn thấy nó cắt trục hoành tại 4 điểm. Nhưng đề hỏi hàm $y=f(|x|+m)$, mà bằng kiến thức đã học ở trên, ta biết được đồ thị sẽ dịch sang trái hoặc phải $m$ đơn vị.

Suy ra là đồ thị vẫn cắt trục hoành tại 4 điểm do chỉ dịch trái-phải chứ không phải lên-xuống.
GIF 1
Đồ thị hàm số biến thiên theo $m$ trong tưởng tượng

Đây là lời giải của ban đầu của mình và của thầy mình. Khá là logic, không hề thấy sai sót gì, hoàn toàn làm đúng kiến thức cơ bản. Tuy nhiên, ta thử giải bằng 1 cách Ngu hơn xem kết quả có giống không nhé.

Giải quyết bài toán theo cách "Ngu"

Trong lớp có thằng tên Tèo khá ngu, không nhớ gì kiến thức cơ bản, nó sẽ giải quyết bài toán này như thế nào?

Đầu tiên, Tèo giả sử $m = -1.5$. Suy ra ta có: $y=g(x)=f(|x|-1.5)$. Khỏi cần phải nghĩ chi cho mệt, tại ngu mà nên cứ thay số thử là xong. Thế là Tèo quyết định lấy hẳn 5 cái $x$ để thử cho máu:

  • $y=g(0)=f(-1.5)$
  • $y=g(1)=g(-1) =f(-0.5)$
  • $y=g(2)=g(-2) =f(0.5)$
  • ...

Thôi khỏi cần thử tiếp ta cũng vẽ đại khái đồ thị được như thế này:
Đồ thị m=-2

Nhìn đồ thị dễ dàng nhận thấy, với $m=-1.5$ thì đồ thị cắt trục hoành tại 6 điểm.
Suy ra là với $m$ bất kì, thì số điểm cắt nhiều nhất mà ta cần tìm phải không nhỏ hơn 6 điểm.

Mà nhìn thử đáp án thì 6 là lớn nhất rồi, thôi thì ngu mà, nghĩ tiếp chắc cũng không ra, nên Tèo quyết định cứ khoanh 6 rồi làm câu tiếp.

Sự thật

Mình vừa giải thử bằng 2 cách, một cách có học và một cách "ngu" học. Hai cách đều khá là logic, nhưng kết quả ra lại khác nhau. Tại sao vậy?
Cả thầy cả trò đều gãi đầu suy nghĩ, thôi thì bật app vẽ đồ thị lên xem nó nói thế nào nhể. Thời đại cờ mờ bốn chấm không thì dùng app cho nó chắc.
GIF 2
Đồ thị hàm số biến thiên theo $m$ thực sự

Hôm đấy bỗng dưng cả lớp được nghỉ sớm.

Bài học (tự mình) rút ra

  1. Đôi khi phải cẩn thận với chính những gì mình biết.
  2. Công thức rút ra từ kinh nghiệm, kinh nghiệm thì không phải lúc nào cũng đúng.
  3. Kiến thức biết nửa vời mà sử dụng bừa bãi ắt có ngày gặp hoạ.
  4. Không trói buộc suy nghĩ bởi những kiến thức người ta nhồi vào đầu.

P/s

Đồ thị dưới đây thực chất là hàm $y=f(|x+m|)$
GIF 1

Bình luận


White
{{ comment.user.name }}
Bỏ hay Hay
{{comment.like_count}}
Male avatar
{{ comment_error }}
Hủy
   

Hiển thị thử

Chỉnh sửa

White

An Việt Trung

4 bài viết.
12 người follow
Kipalog
{{userFollowed ? 'Following' : 'Follow'}}
Cùng một tác giả
White
11 5
Hôm nay tình cờ tôi nghiên cứu về mật mã học và đọc được (Link) của anh Thái có tóm gọn lịch sử về ngành mật mã học. Đọc xong, tôi bất ngờ vì hoá r...
An Việt Trung viết gần 3 năm trước
11 5
White
1 0
Function Pointer trong C++ Có 2 loại function pointer: Pointer to ordinary C functions và static member functions (C++) Pointer to nonstatic me...
An Việt Trung viết hơn 4 năm trước
1 0
Bài viết liên quan
White
33 7
Mình có một anh bạn người Pháp tên là Aurelien, anh này có một biệt tài đó là convert được màu RGB sang mã Hex chỉ bằng cách tính nhẩm. Phương phá...
Huy Trần viết 3 năm trước
33 7
White
54 10
Đây là một câu trả lời cho câu hỏi (Link). Khá là thú vị nên mình trích dẫn lại. Hỏi: Đâu là những kĩ năng toán học cơ bản nhất mà mọi người cần...
Huy Trần viết 3 năm trước
54 10
White
8 1
Đây là bài viết thuộc chủ đề nghiên cứu của nhóm ruby (Link), được lược dịch chủ yếu từ (Link) Background Là người dùng cuối, chúng ta đã quá ...
ManhDV viết gần 3 năm trước
8 1
{{like_count}}

kipalog

{{ comment_count }}

bình luận

{{liked ? "Đã kipalog" : "Kipalog"}}


White
{{userFollowed ? 'Following' : 'Follow'}}
4 bài viết.
12 người follow

 Đầu mục bài viết

Vẫn còn nữa! x

Kipalog vẫn còn rất nhiều bài viết hay và chủ đề thú vị chờ bạn khám phá!